1. Елементи конуса

(Взято з: http://www.yaklas.com.ua/p/geometria/11/t-la-obertannia-15465/konus-15468/re-d41e901b-cc3f-41df-8490-12158c82b386)

Теорія:

Конус — тіло обертання, яке виходить в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

 

Трикутник POA обертається навколо сторони PO.
PO — вісь конуса і висота конуса.
P — вершина конуса.
PA — твірна конуса.
Коло з центром \ (O \) - основа конуса.
AO — радіус основи конуса.
Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь PO конуса.
Осьовий переріз конуса — це трикутник.
APB — осьовий переріз конуса.

∡PAO=∡PBO — кути між твірними і основою конуса.

 

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор. Довжина дуги сектора — це довжина кола основи конуса довжиною 2πR, кут розгортки бічної поверхні α.

В конусі не можна позначити кут розгортки.
На розгортці конуса не можна позначити висоту і радіус конуса.

 

 

 

Радіус сектора — це твірна конуса.

 

 

Таким чином, бічна поверхня конуса є частиною повного кола з радіусом l:

Sбіч.=πl2⋅α360°

 

Довжина дуги також є частиною довжини повної окружності з радіусом l, але у той же час довжина дуги - це довжина окружності основи конуса з радіусом R.
Порівняємо вирази довжини дуги і виразимо α через R:

 

2πl⋅α360°=2πRα=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l

 

Отримуємо ще одну формулу бічної поверхні конуса, не використовується кут розгортки бічної поверхні:

 

Sбіч.=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl

Зрізаний конус

Якщо провести переріз конуса площиною, перпендикулярної осі конуса, то ця площина розбиває конус на дві частини, одна з яких — конус, а іншу частину називають зрізаним конусом.

 

Також зрізаний конус можна розглядати як тіло обертання, яке утворилося в результаті обертання прямокутної трапеції навколо бічної сторони (яка перпендикулярна до основи трапеції) або у результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо висоти, проведеної через серединні точки основ трапеції.

 

 

OO1 — вісь конуса і висота конуса.

AA1 — твірна конуса.

Кола з центрами O і O1 — основи зрізаного конуса.

AO і A1O1 — радіуси основ конуса.

Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь OO1 конуса.

Осьовий переріз конуса — це рівнобедрена трапеція.

AA1B1B — осьовий переріз конуса.

 

Бічна поверхня визначається як різниця бічної поверхні даного конуса і відтятого конуса:

 

Sбіч.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅(PA1+AA1)−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+(πR−πr)⋅PA1 

 

Так як ΔPAO∼ΔPA1O1, то сторони їх пропорційні:

 

PAPA1=Rrl+PA1PA1=Rrr⋅(l+PA1)=R⋅PA1rl=R⋅PA1−r⋅PA1PA1⋅(R−r)=rlPA1=rlR−r

 

Таким чином отримуємо формулу бічної поверхні зрізаного конуса, яка містить радіуси основ і твірну зрізаного конуса:

 

Sбіч.=πRl+π⋅PA1⋅(R−r)=πRl+π⋅rlR−r⋅(R−r)Sбіч.=πRl+πrl=πl⋅(R+r)